Analyse & optimisation convexe sur des espaces de Banach.

Abstract

Dans ce travail, nous étudions la convexité dans les espaces de Banach. Dans un premier temps, nous abordons l'étude des ensembles convexes et nous établissons quelques propriétés clés de la géométrie convexe (séparation de convexes, théorème de Krein-Milman ...). Ensuite, nous étudions les topologies faibles des espaces de Banach en vue de caractériser les espaces réflexifs. La troisième partie est consacrée à l'étude des fonctions convexes. Nous y étudions entre autres les propriétés de continuité et de différentiabilité avant d'introduire la notion de sous-différentiabilité et de transformée de Legendre d'une fonction. Ces notions nous permettrons d'étudier les propriétés partagées par les fonctions convexes dans des problèmes d'optimisation. Nous y abordons le principe du maximum, les théorèmes d'existence et d'unicité des minima et la dualité en optimisation. Nous présentons aussi un procédé de régularisation permettant de mettre au point une méthode d'approximation de minima. Nous clôturons ce texte par une petite application de la théorie dans un problème d'équation aux dérivées partielles.