Croissance des groupes : Solution au problème 5603

Abstract

In this master's thesis, we explore the notion of growth of groups. For any finitely generated group, one can define a growth function associated to a fixed finite set of generators. It is the mapping of any positive integer n to the number of elements of a group that can be written in n generators. This allows for a classification of groups according to their growth, examples of such classes are groups of polynomial growth and groups of exponential growth. In the thesis, we define this concept with the necessary rigor. We then proceed to prove that groups of polynomial growth and virtually nilpotent groups are the same (Gromov's theorem). We also provide an example of a group, the Grigorchuk group, that has neither polynomial nor exponential growth.

Dans ce mémoire, on développe la notion de croissance des groupes. Pour tout groupe finiment engendré, on définit la fonction de croissance associée à un système de générateurs finis fixé. C'est la fonction qui à un naturel n associe le nombre d'éléments du groupe qui peuvent être écrits en n générateurs. Une classification des groupes selon leur croissance est possible. On définit par exemple les groupes à croissance polynomiale ou à croissance exponentielle. Dans le mémoire, on définit ce concept avec la rigueur nécessaire. Ensuite, on prouve que les groupes virtuellement nilpotents sont à croissance polynomiale et réciproquement (théorème de Gromov). On donnera également de groupe, le groupe de Grigorchuk, qui n'est ni à croissance polynomiale ni à croissance exponentielle.