Des nombres complexes aux algèbres à composition

Abstract

Le but de ce mémoire était d’avoir un aperçu des différentes algèbres à composition. Pour ce faire, dans un premier temps, nous analysons l’histoire de l’introduction des nombres complexes, en partant de la résolution des équations du troisième et du quatrième degré. Nous analysons ensuite plusieurs méthodes d’introduction de ces nombres dans l’enseignement. Nous enchaînons ensuite avec l’introduction des quaternions de trois façons différentes grâce auxquelles nous montrerons que les quaternions forment une algèbre à composition et à division associative mais non commutative. Après avoir montré que les quaternions pouvaient être obtenus à partir de couples de nombres complexes, il semble naturel de vouloir poursuivre cette construction. Nous obtenons ainsi une quatrième algèbre à composition (et à division): les octonions, qui cette fois n’est plus associative mais qui possède une propriété plus faible : l’alternativité. Nous pourrions alors nous demander où ce processus de doublement (de Dickson) pourrait nous emmener si on continuait à doubler la dimension, mais dans ce cas l’algèbre obtenue ne serait plus une algèbre à composition. C’est ce que nous dit le théorème d’Hurwitz qui stipule que les seules algèbres à composition avec unité sont l'algèbre des nombres réels, des nombres complexes, des quaternions et des octonions. Quant aux algèbres à composition quelconques, elles sont isotopes à ces quatre algèbres. Pour terminer ce mémoire, nous étudions les groupes d’isométries des quatre algèbres à composition que nous avons définies. Nous étudions aussi les groupes d’automorphismes des réels, des complexes et des quaternions et nous donnons les premières propriétés des groupes d’automorphismes des octonions.