Convergence et divergence des séries de Fourier

Abstract

Savoir si la série de Fourier d'une fonction donnée est convergente est un vaste sujet de recherche. Dirichlet, du Bois-Reymond, Jordan, Kolmogorov, Kahane, Katznelson, Carleson, Hunt ont apportés de célèbres résultats. Dans ce mémoire, certains de ces résultats sont abordés et prouvés. Concernant la convergence, les principaux résultats considérés sont le test de Dini pour la convergence qui permet d'aborder le cas des fonctions dérivables sur le cercle unité; le principe de localisation qui permet d'obtenir une propriété surprenante des séries de Fourier; le théorème de Dirichlet-Jordan qui considère des fonctions à variation bornée sur le cercle unité. Ensuite, des espaces homogènes de Banach sur le cercle unité et des ensembles de divergence pour ces espaces sont étudiés afin d'obtenir une certaine dichotomie concernant la convergence et la divergence des séries de Fourier de fonctions appartenant à un espace de Banach homogène sur le cercle unité. Pour clore le mémoire, le théorème de Kolmogorov est démontré.