L'icosaèdre et la résolution des équations du cinquième degré

Abstract

À travers ce mémoire, nous explorons la géométrie particulière de l'icosaèdre régulier, afin d'étudier les solutions de l'équation du cinquième degré. L’idée consiste à transformer l’expression générale de l’équation du cinquième degré à l’aide des transformations de Tschirnhaus, afin d'en supprimer les termes de degré 4 et 3. Nous constatons alors que le vecteur formé des racines ordonnées de cette équation appartient à une variété Q de P4, que nous pouvons identifier à un produit P1xP1. La clé est alors de constater que l’action du groupe A5 sur les racines correspond à l’action du groupe des rotations de l’icosaèdre sur P1. Ainsi, l’équation de départ nous fournit un élément du quotient que nous appelons l’invariant icosaédral, qui permet de résoudre l’équation du cinquième degré à partir de ses coefficients et d’une solution de l’équation icosaédrale engendrée par cet invariant.