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MASTER THESIS
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Des nombres complexes aux algèbres à composition

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Govers, Ophélie ULiège
Promotor(s) : Mathonet, Pierre ULiège ; Zenaïdi, Naïm ULiège
Date of defense : 30-Jun-2022 • Permalink : http://hdl.handle.net/2268.2/14719
Details
Title : Des nombres complexes aux algèbres à composition
Author : Govers, Ophélie ULiège
Date of defense  : 30-Jun-2022
Advisor(s) : Mathonet, Pierre ULiège
Zenaïdi, Naïm ULiège
Committee's member(s) : Esser, Céline ULiège
Balhan, Kevin ULiège
Rigo, Michel ULiège
Language : French
Number of pages : 101
Discipline(s) : Physical, chemical, mathematical & earth Sciences > Mathematics
Institution(s) : Université de Liège, Liège, Belgique
Degree: Master en sciences mathématiques, à finalité didactique
Faculty: Master thesis of the Faculté des Sciences

Abstract

[fr] Le but de ce mémoire était d’avoir un aperçu des différentes algèbres à composition. Pour ce faire, dans un premier temps, nous analysons l’histoire de l’introduction des nombres complexes, en partant de la résolution des équations du troisième et du quatrième degré. Nous analysons ensuite plusieurs méthodes d’introduction de ces nombres dans l’enseignement. Nous enchaînons ensuite avec l’introduction des quaternions de trois façons différentes grâce auxquelles nous montrerons que les quaternions forment une algèbre à composition et à division associative mais non commutative. Après avoir montré que les quaternions pouvaient être obtenus à partir de couples de nombres complexes, il semble naturel de vouloir poursuivre cette construction. Nous obtenons ainsi une quatrième algèbre à composition (et à division): les octonions, qui cette fois n’est plus associative mais qui possède une propriété plus faible : l’alternativité. Nous pourrions alors nous demander où ce processus de doublement (de Dickson) pourrait nous emmener si on continuait à doubler la dimension, mais dans ce cas l’algèbre obtenue ne serait plus une algèbre à composition. C’est ce que nous dit le théorème d’Hurwitz qui stipule que les seules algèbres à composition avec unité sont l'algèbre des nombres réels, des nombres complexes, des quaternions et des octonions. Quant aux algèbres à composition quelconques, elles sont isotopes à ces quatre algèbres. Pour terminer ce mémoire, nous étudions les groupes d’isométries des quatre algèbres à composition que nous avons définies. Nous étudions aussi les groupes d’automorphismes des réels, des complexes et des quaternions et nous donnons les premières propriétés des groupes d’automorphismes des octonions.


File(s)

Document(s)

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Access Memoire_Govers.pdf
Description:
Size: 1.6 MB
Format: Adobe PDF

Author

  • Govers, Ophélie ULiège Université de Liège > Master sc. math., à fin.

Promotor(s)

Committee's member(s)

  • Esser, Céline ULiège Université de Liège - ULiège > Département de mathématique > Analyse math. et ses interactions avec la théorie des prob.
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  • Balhan, Kevin ULiège Université de Liège - ULiège > Département de mathématique > Centre interfacultaire de formation des enseignants (CIFEN)
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  • Rigo, Michel ULiège Université de Liège - ULiège > Département de mathématique > Mathématiques discrètes
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