Le théorème de Zeckendorf: généralisations et réciproques

Abstract

Un système de numération est un ensemble de règles permettant de représenter des nombres. Parmi ces systèmes, on trouve le système de numération de Zeckendorf. Ce mémoire a pour but d’étudier ce système en explorant notamment le théorème de Zeckendorf, qui stipule que tout nombre naturel peut être exprimé, de manière unique, comme une somme de nombres de Fibonacci distincts et non consécutifs. Par la suite, ce travail explore deux généralisations du théorème : la première généralise le théorème de Zeckendorf à d'autres suites linéaires récurrentes, et la seconde le généralise aux entiers p-adiques. Pour finir, ce mémoire aborde en détail les réciproques faibles de ces théorèmes de Zeckendorf généralisés.